هوش مصنوعی نظریه ۵۰ ساله پال اردوش، ریاضیدان برجسته را رد کرد
کمتر از یک هفته پس از آنکه یک مدل هوش مصنوعی پیشرفته از اوپنایآی (OpenAI) یک فرضیه هشتادساله را ابطال کرد و جامعه ریاضی را شگفتزده ساخت، مسئلهای دیگر که نیم قرن در حالت تعلیق باقی مانده بود، نیز مورد پرسش قرار گرفت؛ این بار توسط محققانی که از همان تکنیکهای هوش مصنوعی الهام گرفته بودند.
در هفته گذشته، مدل هوش مصنوعی اوپنایآی فرضیه «مسئله فاصله واحد» را که توسط پال اردوش، ریاضیدان مجارستانی، مطرح شده بود، به چالش کشید؛ معضلی که اردوش بهعنوان «بزرگترین دستاورد خود در هندسه» شناخته بود و بسیاری از ریاضیدانان سالهای متمادی در پی حل آن ناکام مانده بودند. این معضل در مورد حداکثر تعداد اتصالات هماندازه ای است که میتوان در میان نقاط یک سطح مسطح برقرار کرد.
اردوش یک عدد máximo برای این تعداد پیشنهاد کرد که اکثر کارشناسان آن را معتبر میدانستند. اما مدل هوش مصنوعی اوپنایآی نشان داد که این عدد میتواند به مراتب بزرگتر باشد. تکنیک بهکاررفته شامل یک روش کمتر شناختهشده در نظریه اعداد جبری بود که ساختارهای پیچیدهای در ابعاد بسیار بالا ایجاد میکند و چیدمانی از نقاط را ارائه میدهد که بهکلی با فرضیات انسانی متفاوت است. این نتیجه برای بسیاری از ریاضیدانان حیرتآور بود؛ عدهای حتی انتظار نداشتند در طول زندگی خود شاهد ابطال فرضیهای از اردوش باشند.
به نقل از نیوساینتیست، اکنون کمتر از یک هفته پس از این اتفاق، توماس بلوم از دانشگاه منچستر و همکارانش با استدلالی مشابه، فرضیه مشهور دیگری از اردوش را که در سال ۱۹۷۶ بیان شده بود، به چالش کشیدند: حدس جمع و حاصلضرب.
بلوم اظهار میکند: «این واقعه شگفتانگیز بود، چراکه مدت قابل توجهی روی این موضوع فکر کرده بودم.» پس از آنکه اوپنایآی موفق به حل یک مسئله هندسی شد، بلوم و همکارانش تصمیم گرفتند از همان رویکرد برای بررسی حدس جمع و حاصلضرب بهره بگیرند. او ادامه میدهد: «وقتی میدانید که شاید چیزی امکانپذیر باشد، برای رسیدن به نتیجهای واقعی، با انگیزه بیشتری تلاش میکنید.»
برخی از ریاضیدانان حتی تصور نمیکردند که در طول عمرشان نظارهگر ابطال فرضیهای از اردوش باشند
حدس جمع و حاصلضرب اردوش در مورد مجموعههای اعداد است. این حدس به ما میگوید وقتی تمامی اعداد یک مجموعه را بهصورت دوتایی با یکدیگر جمع میکنیم و مجموعهای جدید از نتایج حاصل میآید، همچنین با ضرب تمامی آنها بهصورت دوتایی، باید حداقل یکی از این دو مجموعه به مراتب بزرگتر از مجموعه اولیه باشد؛ یعنی نمیتواند هر دو مجموعه بهطور همزمان اندازهای نسبتاً کوچک داشته باشند.
برای مثال، با در نظر گرفتن اعداد ۱ تا ۵، مجموعهای که از ضربهای دوتایی بدست میآید بزرگتر از مجموعه حاصل از جمعهای دوتایی خواهد بود؛ زیرا در حالت جمع نتایج تکراری ایجاد میشوند؛ مثل ۲+۳ و ۱+۴ که هر دو برابر ۵ میشوند. اما اگر به مجموعهای مانند ۱، ۲، ۴، ۸ و ۱۶ توجه کنیم، آنگاه مجموعه حاصل از جمعها بزرگتر خواهد بود، چراکه مجموعه حاصل از ضربها تنها شامل توانهای مختلف عدد ۲ میشود.
اردوش اعتقاد داشت که برای هر مجموعه اعداد، نمیتوان هم تعداد جمعهای منحصر به فرد و هم تعداد ضربهای منحصر به فرد را بهطور همزمان در سطحی پایین نگه داشت. به عبارت دیگر، حداقل یکی از این دو مجموعه باید از یک حد خاص فراتر باشد. اما بلوم و همکارانش با بهرهگیری از همان تکنیکهای فضاهای چندبعدی، موفق به یافتن مجموعهای شدند که هم مجموعه جمعهای آن و هم مجموعه ضربهایش، از مقداری که اردوش مشخص کرده بود، کمتر بودند. آنها ثابت کردند که بهجای استفاده از یک تصاعد هندسی ساده مثل توانهای عدد ۲، میتوان تصاعدی از اعداد را بهطور همزمان در ابعاد مختلف تولید کرد؛ روشی که مجموعهای ایجاد میکند که تعداد جمعهای منحصر به فرد تولیدی از آن بهمراتب کمتر است.
بلوم بیان میکند: «آنچه واقعاً برایم شگفتآور بود، سادگی این روش بود. ساختار آن بهقدری واضح است که بهراحتی میتوان آن را توضیح داد و اکنون ما واقعاً درک میکنیم که چرا [حدس اردوش] شکست میخورد؛ موضوعی که احتمالاً در حل بسیاری از مسائل مرتبط دیگر نیز راهگشا خواهد بود.»
میشا رودنف از دانشگاه بریستول اذعان میکند: «این رویداد نمایشی از ریاضیات بهعنوان یک جدال فکری است. بهمحض اینکه ایدهای نو ارائه میشود، گروهی آمادهاند تا بهطور مداوم بر روی آن کار کرده و کاربردهای بیشتری برای آن بیابند و معمولاً این افراد بسیار کارآمد و سریع هستند.»
رودنف میافزاید که شهود اولیه اردوش این بود که این حدس باید عمدتاً برای اعداد صحیح صادق باشد و به نظر میرسد که این موضوع همچنان برقرار است؛ چراکه مجموعهای که بلوم و همکارانش یافتهاند از سیستمهای عددی غیرمتعارفی بهره میبرد که با بزرگتر شدن اندازه مجموعهها، پیچیدگیاش نیز افزایش مییابد. بلوم نیز تأکید میکند که این حدس همچنان برای اعداد صحیح معتبر است و میگوید: «کارهای زیادی هنوز در پیش است؛ ما بهراستی نمیدانیم دقیقاً چه در حال وقوع است.»
بلوم بر این باور است که مهمترین نتیجه این اثبات این است که مسائل بهظاهر هندسی، مانند مجموعههایی از توانهای دو، میتوانند با ابزارهایی از نظریه اعداد مورد بررسی قرار گیرند. او اضافه میکند: «این مسئله درهای این نوع مسائل را به روی جامعهای کاملاً جدید از پژوهشگران گشوده است. پژوهشگران نظریه اعداد جبری پیشتر چندان مشغول به این سوالات نبودهاند.»
یافتههای این تیم در پایگاه آرکایو در دسترس میباشد.
